Τρίτη 29/11 στις 20.00 - Δεύτερη διεπιστημονική συζήτηση στα μαθηματικά

 

Σ’ αυτό το μικρό κύκλο τριών συζητήσεων θα επιχειρηθεί μια κριτική των κυρίαρχων πεποιθήσεων και εναλλακτική επιστημολογική προσέγγιση σε αμφιλεγόμενα ζητήματα, όπως η φύση των μαθηματικών θεωριών, η φιλοσοφική τους εκτίμηση, η σχέση τους με τη φυσική και η διδασκαλία τους. 

Δεύτερη συζήτηση: "Πού αλλού μπορεί να υφίσταται η «αλήθεια» των αξιωμάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, παρά στις ιστορικές αντιλήψεις για τα σχήματα μέσα στο φυσικό χώρο;"

 

Με το να είναι κανείς σπουδαίος μαθηματικός, έχει εξασφαλίσει μια διεθνή φήμη, αυτό όμως δεν τον κάνει αναγκαία και καλό φιλόσοφο -ιδιαίτερα όταν δεν είναι καλός διεπιστημονικός στοχαστής. Παράδειγμα ο Γκαίντελ (Kurt Goedel), που απόδειξε το περίφημο Θεώρημα Μη-Πληρότητας για τις τυπικές αξιωματικές μαθηματικές θεωρίες.

Από την εμπειρία του, ή καλύτερα την αίσθηση ή το προσωπικό του βίωμα της μαθηματικής εν γένει δραστηριότητας, οδηγήθηκε σε μια πλατωνιστική αντίληψη για τα μαθηματικά, με ένα αμφιλεγόμενο επιχείρημα που ο πυρήνας του, αναλυτικά/τυπικά διατυπωμένος, είναι ο εξής:

Το περιεχόμενο των [βασικών] προτάσεων που αφορούν τις μαθηματικές έννοιες τίθεται ή “επιβάλλεται” σ΄εμάς [από μια εξωτερική πραγματικότητα] ως αληθές, σχεδόν όπως το περιεχόμενο των [εμπειρικών] προτάσεων εντυπώνεται σ’ εμάς μέσω της αισθητηριακής εμπειρίας. 

Και μάλιστα, η αλήθεια μιας μαθηματικής πρότασης, είπε ακόμη ο Γκαίντελ, είναι ανεξάρτητη από όλες τις νοητικές ενέργειες και κατασκευές (θεωρίες, αποδείξεις, μοντέλα) που κάνουμε εμείς οι άνθρωποι για να την καταδείξουμε. Ο φιλόσοφος των μαθηματικών M. Detlefsen, στον οποίο οφείλεται και η παραπάνω τυπική διατύπωση του πυρήνα του επιχειρήματος του Γκαίντελ, έλεγξε το επιχείρημα αυτό με τα εξής ερωτήματα:

1. Πόσο αξιόπιστη και αποκαλυπτική ένδειξη για την ύπαρξη μιας εξωτερικής πραγματικότητας είναι η εμπειρία [ή η αίσθηση] που έχουμε για την “επιβολή”των αισθητηριακών προτάσεων; 
2. Πόσο αξιόπιστη είναι και τι έκταση [εφαρμογής] έχει η υποτιθέμενη αναλογία μεταξύ της “επιβολής” των βασικών μαθηματικών προτάσεων και της “επιβολής” των βασικών αισθητηριακών προτάσεων, ως ενδείξεων για την ύπαρξη κάποιων εξωτερικών πραγματικοτήτων

Από τον 17ο αιώνα και με προεξάρχοντα τον Καρτέσιο, η φιλοσοφίαεπικεντρωνόταν στη μέθοδο παρά στο περιεχόμενο, κι αυτό οφειλόταν στο ότι η επιστήμη ξεκινούσε να βάλει τάξη σ΄ έναν κόσμο όπου επικρατούσαν οι αυθαίρετες αναλογίες και ο ανθρωπομορφισμός. Η ανάγκη να τεθεί τέλος στην αυθαιρεσία αυτή εκφράζεται καθαρά από τα πιο ανήσυχα μυαλά της εποχής, όπως ο Σπινόζα, που δήλωσε ότι «σε έναν κόσμο τριγώνων ο Θεός θα ήταν τριγωνικός», θέλοντας έτσι να
δείξει τον αυθαίρετο ανθρωπομορφισμό της επίσημης (καθολικής) θρησκείας.

Σ΄αυτό το πλαίσιο καταλαβαίνουμε γιατί ο Σπινόζα επέλεξε τον
αρχαιοελληνικό τρόπο έκθεσης των συλλογισμών όπως στα Στοιχεία του Ευκλείδη, προκειμένου να γράψει την Ηθική του, ενώ προηγούμενα ο Καρτέσιος με περισσότερη εγγύτητα προς τον Καθολικισμό και το σχετικό ρασιοναλισμό, είχε απορρίψει, μαζί με τα «Αριστοτελικά δόγματα», και την Ευκλείδεια συλλογιστική.

Η καθημερινή πρακτική της ζωής (πάνω σε μικρά κομμάτια της γήινης επιφάνειας, από την κοιλάδα του Νείλου ως τις μεσαιωνικές πόλεις) έκανε την Ευκλείδεια γεωμετρία να ριζώσει για πολλούς αιώνες στην αντίληψή μας για το χώρο, και να γίνει μια παράδοση τόσο ισχυρή, ώστε να είναι πολύ δύσκολο να συναινέσουμε σε μια άλλη, λογικά δυνατή θεώρηση των πραγμάτων.

Ίσως ο πρώτος σπουδαίος διεπιστημονικός στοχαστής σε σχέση με την ιστορία της γεωμετρίας είναι ο Husserl, ο οποίος, σ΄ ένα μεγάλο και σημαντικό άρθρο του για την πρώτη διϋποκειμενική δημιουργία των γεωμετρικών νοημάτων, αναθέτει στην ιστορία των ιδεών ένα καθήκον, που της ήταν μάλλον άγνωστο τότε:

(…) οι έρευνές μας είναι ιστορικές υπό μια ασυνήθιστη έννοια, δηλαδή σύμφωνα με ένα θεματικό προσανατολισμό, που διανοίγει προβλήματα βάθους όλως ξένα για τη συνηθισμένη Ιστορία, προβλήματα που, αναμφισβήτητα, είναι στο είδος τους και ιστορικά.

Μιλώντας για τα βασικά σχήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (όπως: σημείο, ευθεία γραμμή, κύκλος, τρίγωνο) εννοούμε (χωρίς αμέσως και να το συνειδητοποιούμε) ουσιαστικά εκείνες της ιδιότητες των σχημάτων που δεν αλλάζουν αν τα σχήματα μεγεθυνθούν ή σμικρύνουν, μέσα στο φυσικό χώρο, ομοιόμορφα προς οποιαδήποτε διεύθυνση, κάτι που μας επιτρέπει να πραγματοποιούμε γεωμετρικές κατασκευές.

Αν όμως στο φυσικό χώρο υπάρχει, «δίπλα» σε μια ευθεία γραμμή διάδοσης του φωτός, ένα αντικείμενο μεγάλης μάζας, τότε σύμφωνα με τη θεωρία της Γενικής Σχετικότητας, η ευθεία αυτή καμπυλώνεται ανάλογα με την καμπυλότητα του χώρου στο σημείο αυτό, και έτσι οι Ευκλείδειες πεποιθήσεις μας παύουν να έχουν μια φυσική στήριξη.